双曲函数

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射线出原点交双曲线 x² − y² = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的 a 被称为双曲角，是这条射线、它关于 x 轴的镜像和双曲线之间的面积。

在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。

因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。

[编辑] 基本定义

sinh, cosh 和 tanh

csch, sech 和 coth

$\sinh x = {{e^x - e^{ - x} } \over 2}$
$\cosh x = {{e^x + e^{ - x} } \over 2}$
$\tanh x = {{\sinh x} \over {\cosh x}}$
$\coth x = {1 \over {\tanh x}}$
${\mathop{\rm sech}} x = {1 \over {\cosh x}}$
${\mathop{\rm csch}} x = {1 \over {\sinh x}}$

如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x² − y² = 1。这基于了很容易验证的恒等式

$\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 \,$

和性质 t > 0 对于所有的 t。

双曲函数是带有复周期 2πi 的周期函数。

参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。

函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。

函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh -x 且 sinh 0 = 0。

[编辑] 与三角函数的关系

双曲函数与三角函数有如下的关系:

$\sinh x = -i \sin ix \!$

$\cosh x = \cos ix \!$

$\tanh x = -i \tan ix \!$

$\coth x = i \cot ix \!$

$\operatorname{sech} x = \sec ix \!$

$\operatorname{csch} x = i\,\csc\,ix \!$

[编辑] 恒等式

与双曲函数有关的恒等式如下:

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \,$

加法公式：

$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,$

$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,$

$\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,$

二倍角公式：

$\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,$

$\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,$

半角公式：

$\cosh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2}$

$\sinh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2}$

双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule^[1]指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括 $\coth^2 x, \tanh^2 x, \operatorname{csch}^2 x , \sinh x \sinh y$ ）则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如

三倍角公式：

sin3x = 3sinx − 4sin³x

sinh3x = 3sinhx + 4sinh³x

减法公式：

cos(x − y) = cosxcosy + sinxsiny

cosh(x − y) = coshxcoshy − sinhxsinhy

[编辑] 反双曲函数

主条目：反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:

$\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

$\operatorname{arcosh}\, x = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})$

$\operatorname{artanh}\, x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

$\operatorname{arcoth}\, x = \ln\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1} = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}$

$\operatorname{arsech}\, x = \pm \ln\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}$

$\operatorname{arcsch}\, x = \begin{cases} \ln\frac{1 - \sqrt{1 + x^2}}{x}, & \mbox{for }x < 0\!\, \\ \ln\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}, & \mbox{for }x > 0\!\, \end{cases}$

[编辑] 双曲函数的导数

$\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,$

$\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,$

$\frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,$

[编辑] 双曲函数的泰勒展开式

双曲函数也可以以泰勒级数展开:

$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$ }-

$\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$ (罗朗级数)

$\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi$ (罗朗级数)

其中

$B_n \,$ 是第n项伯努利数

$E_n \,$ 是第n项欧拉数

[编辑] 双曲函数的积分

$\int\sinh cx\,dx = \frac{1}{c}\cosh cx + C$

$\int\cosh cx\,dx = \frac{1}{c}\sinh cx + C$

$\int \tanh cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\cosh cx| + C$

$\int \coth cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\sinh cx| + C$

[编辑] 请参阅

笔记本辐射与日常电器辐射对比图

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2009-06-15 | 双曲函数

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目录

[编辑] 基本定义

[编辑] 与三角函数的关系

[编辑] 恒等式

[编辑] 反双曲函数

[编辑] 双曲函数的导数

[编辑] 双曲函数的泰勒展开式

[编辑] 双曲函数的积分

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